Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是．极小值，无极大值．（2）存在实数，使得函数在上的最小值为．

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值（2）先根据导函数是否变化分类讨论：当时，导函数恒为正，所以最小值为；当时，导函数先负后正，所以最小值为；当时，导函数为负，最小值为，最后根据最小值为1，解对应的值。

试题解析：解：由题意知函数的定义域为，．

（Ⅰ）当时，，

当时，，当时，，

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

所以当时，函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）①当时，函数在为增函数，

∴函数在上的最小值为，显然，故不满足条件；

②当时，函数在上为减函数，在上为增函数

故函数在上的最小值为的极小值，

即，满足条件；

③当时，函数在为减函数，

故函数在上的最小值为，即，不满足条件．

综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为．