Question

如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，，分别为的中点.

（Ⅰ）求证:平面平面;

（Ⅱ）求二面角的平面角的大小.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）欲证平面EFG∥平面PCD，可根据面面平行的判定定理进行证明，即证明EG∥平面PCD，EF∥平面PCD；

（Ⅱ）取Ｄ为坐标原点DC为x轴,DA为z轴建立空间直角坐标,应用空间向量知识来求.也可取PC中点M，连接EM，DM，根据二面角的平面角的定义证明∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的补角，在△DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大小．

试题解析：（Ⅰ）因为分别为中点,所以,

又因为是正方形,,所以,所以平面.

因为分别为中点,所以,所以平面.

所以平面平面.

（Ⅱ）法1.易知,又,故平面

分别以为轴和轴,建立空间直角坐标系(如图)

不妨设则,

所以

设是平面的法向量,则

所以取,即

设是平面的法向量,则

所以取

设二面角的平面角的大小为

所以,二面角的平面角的大小为.

法2.取中点,联结则,又平面,,所以平面,所以平面,所以,.

因为,则,所以 平面.

又因为,所以

所以就是二面角的平面角的补角.

不妨设,则

,,.

所以二面角的平面角的大小为.

考点：１．平面与平面平行的判定；２．与二面角有关的立体几何综合题．