Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，为函数的两个极值点，求证．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间，，单调递减区间；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造新函数，，转化为求解的范围问题，结合导数及函数性质可求．

（Ⅰ）由题意，函数的定义域，

且，

当或时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

故函数的单调递增区间，，单调递减区间；

（Ⅱ）不妨设，则由（1）可知，，

所以

，

令（其中），则，

可得，即在上单调递减，

且，，

故存在使得，即，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故当时，取得最大值

，

因为，结合二次函数的性质可知，当时，，

故，

所以，即．