Question

【题目】已知函数（常数）.

（1）证明:当时,函数有且只有一个极值点；

（2）若函数存在两个极值点,证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）均见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导得，令，则，当时，讨论函数的符号，可得在有且只有一个零点,所以函数在有且只有一个极值点；（2）函数存在两个极值点,则,是的两个零点，且由（1）知，必有,讨论的符号可得在单调递增，在单调递减,又因为，所以有，由，得,此时，通过导数研究的单调性得在单调递增，在单调递减,所以,.

试题解析：依题意，

令，则.

（1）①当时，，所以无解，则函数不存在大于零的极值点；

②当时，由，故在单调递增.又，

所以在有且只有一个零点.

又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，

所以函数在有且只有一个极值点.

综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点.

（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），

所以,是的两个零点，且由（1）知，必有.

令得；

令得；

令得.

所以在单调递增，在单调递减，

又因为，

所以必有.

令，解得，

此时.

因为是的两个零点，

所以，.

将代数式视为以为自变量的函数

则.

当时，因为，所以，

则在单调递增.

因为，所以，

又因为，所以.

当时，因为，所以，

则在单调递减，

因为，所以.

综上知，且．．