Question

【题目】在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于两点,.

（1）求证:为定值；

（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出过点的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数，由根与系数关系可得为定值；（Ⅱ）先设存在直线：满足条件，求出以为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式，由表达式可知，当时，弦长为定值.

试题解析：（Ⅰ）（解法1）当直线垂直于轴时，,

因此（定值）,

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为

由得

因此有为定值

（解法2）设直线的方程为

由得

因此有为定值.

（Ⅱ）设存在直线：满足条件，则

的中点，

因此以为直径的圆的半径

又点到直线的距离

所以所截弦长为

当即时，弦长为定值2，这时直线方程为.