题目内容

设双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF₁为正三角形，则该双曲线的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题中所给条件易知可知， $\text{[math]}$ ，|F₁F₂|=2c，∵△MNF₁为正三角形，∴ $\text{[math]}$ ，由此可以求出该双曲线的离心率．
解答：由题意可知， $\text{[math]}$ ，|F₁F₂|=2c，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴4a²c²=3b⁴=3（a²-c²）²=3a⁴-6a²c²+3c⁴，
整理得3e⁴-10e²+3=0，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）．
答案： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线的离心率，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．

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A. B. C. D.