Question

（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。

Answer 1

解析:如图，记双曲线在轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为的内切圆在边上的切点，H为的内切圆在边上的切点，K为的内切圆在边上的切点。则有

          ---------------------------------   5分

由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。

而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧。------- 10分

因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是

即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式)

 ，    （）       --------------------------------- 15分

也可以用直角坐标形式。

 

由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为

 （）。            -------------------------------- 20分