Question

已知圆M：（x-）²+y²=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圆心M得到．利用椭圆的离心率及b²=a²-c²即可得出椭圆的标准方程；
（II）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系即可得到|GH|，进而得出k．
解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．
∵，∴c=1．
∴b²=a²-c²=1．
所以椭圆C：．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由直线l与椭圆C交于两点A，B，则
消去y得到（1+2k²）x²-2=0，则x₁+x₂=0，．
∴|AB|==．
点M到直线l的距离．
则|GH|=．
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．
∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．
∴，
解得k²=1，即k=±1．
点评：熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．