Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，动点在椭圆上，的周长为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆的另一个交点为，过分别作直线的垂线，垂足为与轴的交点为．若四边形的面积是面积的3倍，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；

（2）先设出直线PQ的方程为x=my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据 得出k的取值范围．

（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a，

又因为|F1F2|=2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c=6，

又因为椭圆的离心率为，所以，解得a=2，c=1．所以，

E的方程为．

（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1，

由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．

设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，

则S1=3S2，又因为，S2=．

所以，

即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），

又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），

所以，由t＞2得，解得，

设直线PQ的斜率为k，则，所以，

解得，

所以直线PQ斜率的取值范围是．