Question

9．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为$（{\sqrt{3}，1}）$，点N的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0，设$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）．
（Ⅰ）若ω=2，∠A为△ABC的内角，当f（A）=1时，求∠A的大小；
（Ⅱ）记函数y=f（x）（x∈R）的值域为集合G，不等式x²-mx＜0的解集为集合P．当P⊆G时，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的解析式，根据三角函数的性质计算A；
（II）求出G，P，根据集合的包含关系得出m的范围．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}$．∴A=$\frac{π}{4}$或A=$\frac{11π}{12}$．
（II）f（x）=$\sqrt{3}$cosωx+sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．∴G=[-2，2]．
令x²-mx=0，解得x=0或x=m，
∴当m=0时，P=∅，P⊆G，符合题意．
当m＞0时，P=（0，m），∵P⊆G，∴m≤2．
当m＜0时，P=（m，0），∵P⊆G，∴m≥-2．
综上，m的最大值是2．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，集合之间的关系，属于中档题．