Question

（08年长沙一中一模理）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M，求动点M的轨迹的方程；

（3）过椭圆的焦点作直线与曲线交于A、B两点，当的斜率为时，直线上是否存在点M，使若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

解析：（1）

直线与圆相切，

.

椭圆的方程是

（2），动点M到定直线的距离等于它到定点的距离.

动点M的轨迹方程是以为准线，为焦点的抛物线

点M的轨迹的方程为.

（3）由，得焦点为N（1，0），准线方程为.

直线的方程为，代入得.

由韦达定理得，设

设曲线的准线上存在点M（），使得，则，

，

，

.

准线上存在点，使.