Question

【题目】在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接与交于点，连接，根据题意可证四边形是平行四边形，即.根据侧面底面，可得平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证。

（2）分别以分别为轴正方向建系，求出各点坐标及平面和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可。

解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.

则为的中点，

因为三棱柱，

所以，且，

所以四边形是平行四边形.

又是棱的中点，所以.

因为侧面底面，且，

所以平面

所以平面

又平面，

所以平面平面

（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面。

设，可得，

分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

则

设平面的一个法向量为

则

所以，取

所以

又平面的一个法向量为

故

因为二面角为钝角，所以其余弦值为.