Question

如下图，一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市，A，B分别位于河的两岸(假定岸是平行的直线)，现需铺设一条电缆连通A与B，已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元，问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少？(＝1.732，＝2.236，＝3.8730)

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本例的关键在于确定水中电缆的长度，即C点位置．由于选择参变数的不同，总的修建费的目标函数的表达方式各异，因而有判别式法、平均值不等式法、三角换元法、平面几何作图法等不同解法． 　　解答　　解法一 设C为OA上一点，OC＝x(km)， 　　则CA＝－x，BC＝． 　　∴总修建费y＝2(－x)＋4移项并平方，得 　　12x2＋(8－4y)x－(y2－4y＋44)＝0． 　　∵△＝(8－4y)2＋48(y2－4y＋44) 　　＝y2－4y＋48≥0(y＞0)， 　　∴y≥2＋2．当y＝2＋2时， 　　2＋2＝2－2x＋4， 　　即3x2－2x＋1＝0，∴x＝∈(0，)， 　　即当x＝时，y取最大值2＋2， 　　此时CA≈3.3(km)，BC≈1.2(km)． 　　答：先沿岸边铺设3.3km的地下电缆，再铺设1.2km水下电缆连通A，B两市时，总修建费最少． 　　解法二　　设C为OA上一点， 　　∠OBC＝α，α∈(0，arccos)， 　　则BC＝，CA＝－tanα， 　　∴总修建费y＝2(－tanα)＋ 　　＝2＋．令＝t， 　　则sinα＋tcosα＝2， 　　∴sin(α＋)＝． 　　由|sin(α＋)|≤1，解≤1(t＞0)得t≥， 　　∴y≥2＋2． 　　当t＝时，由sinα＋tcosα＝2， 　　解之得x＝∈(0，arccos)． 　　此时CA＝－≈3.3(km)， 　　BC＝≈1.2(km)． 　　解法三　　如下图，作∠DAO＝，在AO上任取一点C1，作C1E⊥AD，E为垂足，则AC1＝2C1E；作BF⊥AD，F为垂足，交AO为C． 　　因为水下电缆修建费是地下电缆修建费的2倍，所以AB的修建费等于EC1B的修建费． 　　而B到直线AD的最短距离为垂线段BF，所以ACB的修建费最少． 　　∴OC＝，总修建费最小值为2＋2 　　此时AC≈3.3(km)，BC≈1.2(km) 　　评析　　解法一叫做判别式法，在用判别式法求函数最值时应注意最值是否能真正取到，即是否存在与最值相应的自变量值，也就是“△≥0”的“＝”能否成立．简单地说是应验证．解法三是平面几何作图法，形象直观，但必须叙述、推理严谨．