题目内容

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点M在C的准线上的射影为N，若2
MN
•
MF
=|
MN
|•|
MF
|，则点M的横坐标为（　　）
A、p
B、3p
C、
3
2
p
D、
7
2
p
分析：利用两个向量的数量积的定义求出∠NMF=60°，可得MF的倾斜角等于 60°，根据MF的方程设出点M的横坐标，由抛物线的定义得  
(m-
p
2
)2+(
3
m -
3
2
p)2
=m+
p
2
，解出点M的横坐标m．
解答：解：∵2
MN
•
MF
=|
MN
|•|
MF
|，∴2|
MN
|•|
MF
|•cos∠NMF=|
MN
|•|
MF
|，
∴cos∠NMF=
1
2
，∠NMF=60°，MF的倾斜角等于 60°．又焦点F（
p
2
，0），
∴MF的方程为  y-0=
3
（x-
p
2
），设点M（m，
3
m-
3
2
p），m＞0，
由抛物线的定义得 MF=MN，
(m-
p
2
)2+(
3
m -
3
2
p)2
=m+
p
2
，
m=
3p
2
，
故选 C．
点评：本题考查抛物线的定义、以及简单性质的应用，两个向量的数量积的定义，利用抛物线的定义得到
(m-
p
2
)2+(
3
m -
3
2
p)2
=m+
p
2
，是解题的关键．
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精英家教网如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求证：a2=
16(1-kb)k2
．
已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值．
已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
MA
•
MB
=0，则k=（　　）

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