Question

【题目】平面上两定点，动点满（为常数）．

（Ⅰ）说明动点的轨迹（不需要求出轨迹方程）；

（Ⅱ）当时，动点的轨迹为曲线，过的直线与交于两点，已知点，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（1）对进行分类，再利用线段和椭圆的概念即可得到结果；

（2）由题意可知，可得动点的轨迹方程为，当与轴重合和当与轴垂直时时，易得结论成立；当与轴不重合也不垂直时，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到韦达定理，再直线，的斜率之和为0，即可证明结果.

（Ⅰ）由题意：当时，动点不表示任何图形；

当时，动点的轨迹是线段；

当时，动点的轨迹是椭圆．

（Ⅱ）当时，动点的轨迹方程为：．

当与轴重合时，

当与轴垂直时，直线恰好平分，

则．

当与轴不重合也不垂直时，

设直线的方程为

代入椭圆方程可得

设，

则，

直线，的斜率之和为

因为

所以，故直线，的倾斜角互补

即．