Question

【题目】设 （，）．

（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；

（2）设（），且各项系数，，，…，互不相同．现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设是第i列中的最小数，其中，且i，．记的概率为．求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用题目所给展开式中第项与第项的系数之比列方程，解方程求得的值.

（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得的表达式，构造数列，判断出数列的单调性，由此证得不等式成立

（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即，

所以，即，所以，

解得或．

因为，所以．

（2）由题意，最小数在第n列的概率为，

去掉第n列已经排好的n个数，

则余下的个数中最小值在第列的概率为，

…………

以此类推，

余下的数中最小数在第2列的概率为，

所以．

由于，所以．

设，

所以．

记，所以，

所以是递增数列，所以；是递增数列，所以，

所以，所以，即．