Question

设函数．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若对于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解答：

解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，

∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）

（Ⅱ）=（6分）

令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）

若对于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）         （10分）

又，x∈[0，1]

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾

②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，

此时b＞1（11分）

综上，b的取值范围是（12分）