Question

如图，有以下命题：设P、Q是线段AB的三等分点，则有O

P

+O

Q

=O

A

+O

B

把此命题推广，设点A₁，A₂，A₃…A_n-1是线段AB的n等分点（n≥3，n∈N^*），则有O

A1

+O

A2

+O

A3

+…O

AN-1

=

n-1

2

（O

A

+O

B

）．

Answer 1

分析：受：“命题：设P、Q是线段AB的三等分点，则有O

P

+O

Q

=O

A

+O

B

”的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想O

A1

+O

A2

+O

A3

+…O

AN-1

=

n-1

2

（O

A

+O

B

）．再利用向量的运算证明结论．

解答：解：设

OA

=a，

OB

=b，能得到的结论是：

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

═

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
证明：
∵

OA1

=

OA

-

A1A

=

a

-

1

n

（

a

-

b

）=

n-1

n

a

+

1

n

b

，

OA2

=

OA

-

A2A

=

a

-

2

n

（

a

-

b

）=

n-2

n

a

+

2

n

b

，
…

OAn-1

=

OA

-

An-1A

=

a

-

n-1

n

（

a

-

b

）=

1

n

a

+

n-1

n

b

，
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

a

+（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

b

 
=

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
故答案为：

n-1

2

．

点评：本题考查类比推理、向量加法、减法的运算法则和几何意义，并且运用等差数列求和公式进行计算化简以及进行合情推理．