题目内容

如图，有以下命题：设P、Q是线段AB的三等分点，则有 $数学公式$ 把此命题推广，设点A₁，A₂，A₃…A_n-1是线段AB的n等分点（n≥3，n∈N^*），则有 $数学公式$ … $数学公式$ =________（ $数学公式$ ）．

$\text{[math]}$
分析：受：“命题：设P、Q是线段AB的三等分点，则有 $\text{[math]}$ ”的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．再利用向量的运算证明结论．
解答：设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，能得到的结论是： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
证明：
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查类比推理、向量加法、减法的运算法则和几何意义，并且运用等差数列求和公式进行计算化简以及进行合情推理．