Question

已知直线l：(mR)和椭圆C：, 椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数的取值范围；

⑶当时，设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值。

Answer 1

解：⑴由离心率，得

又因为，所以，

即椭圆标准方程为.                       ---------4分

⑵  由    消得：．

    所以，  可化为

    解得．                                  --------8分

⑶由l：,设x=0, 则y=2, 所以P(0, 2).   --------9分

设M(x, y)满足,

则|PM|2 =x2 +(y –2)2 =2–2y2 +(y – 2 )2 = –y2 –4y +6

      = –(y +2)2 +10，  

因为 –1y1,  所以                          --------11分

当y=-1时，|MP|取最大值3               --------14分