Question

f（x）为定义在R上的函数，f（1）=1，对任意x₁，x₂∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立
（1）对任意n∈N^*，有a_n=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n+1

)+1，求T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

（2）设F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，若

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）对于一切n≥2且n∈N^*恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用条件，结合叠加法，即可求数列的通项，再利用错位相减法，即可求和；
（2）确定F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，单调递增，可得F（n）_min=F（2）=

12

35

，

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）对于一切n≥2且n∈N^*恒成立，等价于

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤

12

35

，由此可确定a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴f（n）=f（n-1）+f（1）+1        
f（n-1）=f（n-2）+f（1）+1
…
f（2）=f（1）+f（1）+1
∴f（n）=nf（1）+n-1=2n-1
∴a_n=

1

f(n)

=

1

2n-1

，bn=f(

1

2n+1

)+1=

1

2n

∴T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1•

1

2

+3•

1

22

+…+(2n-1)•

1

2n

∴

1

2

T_n=1•

1

22

+3•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n+1

两式相减，可得

1

2

T_n=1•

1

2

+2•

1

22

+…+2•

1

2n

-(2n-1)•

1

2n+1

∴T_n=3-

3+2n

2n

；
（2）∵F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，∴F（n+1）=a_n+2+a_n+2+…+a_2n+2，
∴F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)

＞0
∴F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，单调递增，
∴F（n）_min=F（2）=

12

35

∵

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）对于一切n≥2且n∈N^*恒成立，
∴

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤

12

35

∴0≤a≤

4

3

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，确定数列的通项，正确求和是关键．