Question

已知一个四棱锥P-ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据三视图可知PC⊥面ABCD，从而得到四棱锥P-ABCD的高为PC，底面ABCD是正方形，然后根据四棱锥P-ABCD的体积公式进行求解即可．
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，可证明BD⊥面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与面PAC内两相交直线垂直，连接AC，则AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C点，满足定理所需条件，而E是PC上的动点，所以AE在平面PAC内，从而得到结论．

解答：解：（1）由三视图可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，
底面ABCD是正方形，故体积Vp-ABCD=

1

3

×2×1×1=

2

3

；（6分）
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）
连接AC，则AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C点，故BD⊥面PAC，
因为E是PC上的动点，所以AE在平面PAC内，所以BD⊥AE不论E在何位置都正确．（12分）

点评：本题主要考查了三视图与立体图形的转化，以及体积的求解和直线与平面垂直的性质，同时考查了转化与划归的数学思想、计算与推理能力，属于基础题．