Question

在△ABC中，若AB=2， AC=

2

BC，则△ABC面积的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：设BC=a，则AC=

2

a，利用余弦定理可求得cos²B=

1

a2

+

a2

16

-

1

2

，再利用三角形的面积公式可求得S_△ABC=asinB，继而可求S△ABC2=-

1

16

（a²-12）²+8，从而可得△ABC面积的最大值．

解答：解：依题意，设BC=a，则AC=

2

a，又AB=2，
由余弦定理得：(

2

a)2=a²+AB²-2a•ABcosB，
即a²+4acosB-4=0，
∴cosB=

4-a2

4a

=

1

a

-

a

4

，
∴cos²B=

1

a2

+

a2

16

-

1

2

，
∴sin²B=1-cos²B=

3

2

-

a2

16

-

1

a2

．
∵S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

×2asinB=asinB，
∴S△ABC2=a²sin²B=a²（

3

2

-

a2

16

-

1

a2

）=-

a4

16

+

3

2

a²-1=-

1

16

（a⁴-24a²）-1=-

1

16

（a²-12）²+8，
当a²=12，即a=2

3

时，2、2

3

、2

6

能组成三角形，
∴S△ABC2max=8，
∴S_△ABCmax=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S△ABC2=-

1

16

（a²-12）²+8是关键，也是难点，属于难题．