Question

【题目】如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”.

（1）试判断函数是否为“可拆分函数”？并说明你的理由；

（2）证明：函数为“可拆分函数”；

（3）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 不是“可分拆函数”(2)见解析（3）

【解析】试题分析: （1）按照“可分拆函数”的概念，只需方程有根即可，据此判断；
（2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号即可证明结论；
（3）若函数在（0，+∞）上为可分拆函数，只需方程在该区间上有实根，然后借助于换元的方法，将，然后分离参数方法，即可求出的取值范围．

试题解析：

（1）假设是“可分拆函数”，则存在，使得

即 ，而此方程的判别式 ，方程无实数解，

所以，不是“可分拆函数”．

（2）令，

则，

又 故，

所以在上有实数解，也即存在实数，使得

成立，

所以 是“可分拆函数”．

（3）因为函数为“可分拆函数”，

所以存在实数，使得=+，

=且 ，所以 ，

,则 ,所以 ，

由得 ，即的取值范围是 ．