Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E为BC上一点且BE= BC，PB⊥AE．

（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PA⊥AE，

又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，

∴AE⊥平面PAB，又∵AB平面PAB，

∴AE⊥AB．

又∵PA⊥AB，PA∩AE=A，

∴AB⊥平面PAE，

又∵PE平面PAE，

∴AB⊥PE．

（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则B（2 ，0，0），P（0，0，2），C（﹣ ，3，0），D（﹣ ，1，0），

∴ =（﹣3 ，3，0）， =（﹣ ，3，﹣2）， =（0，2，0）．

设平面PBC的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，令x=1，得 =（1， ， ）．

同理可求平面PCD的一个法向量 =（2，0，﹣ ）．

∴cos ＞= = =﹣ ．

∵二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，

∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）推导出PA⊥AE，AE⊥AB．由此能证明AB⊥PE．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用棱锥的结构特征的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．