Question

【题目】已知函数，其中 R．

（1）如果曲线在x＝1处的切线斜率为1，求实数的值；

（2）若函数的极小值不超过，求实数的最小值；

（3）对任意[1，2]，总存在[4，8]，使得＝成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3）

【解析】

（1）求得，利用曲线在处的切线斜率为1列方程可得：，问题得解

（2）由（1）可得：，函数的极小值不超过，说明函数有极小值，即可判断且其极小值，可转化成，记，利用导数可得在上递减，结合，即可求得，问题得解。

（3）记在的值域为，在的值域为，“对任意，总存在，使得成立”可转化成： 恒成立，对的大小分类，即可判断函数的单调性，利用 列不等式即可得解。

（1）由题可得：，所以

又曲线在处的切线斜率为1，所以，

解得：

（2）

因为函数的极小值不超过，说明函数有极小值

则，其极小值

即：

记：，上述不等式可转化成

当时，，

要使得，则

因为恒成立，

所以在上递减，

所以实数的最小值为

（3）记在的值域为，在的值域为

对任意，总存在，使得成立，

则 成立

（Ⅰ）当时，在递增，不满足

（Ⅱ）当时，在递减，在递增，不满足

（Ⅲ）当时，在递减，在递增，

要使得 ，则

即：

整理得：

（Ⅳ）当时，在递减，在递增，

要使得 ，则

即：

整理得：

（Ⅴ）当时，在递减，，不满足 .

综上所述：