Question

【题目】设函数.

(1)判断的单调性，并求极值；

(2)若，且对所有都成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)求导，对参数a进行讨论求出单调性，即可得极值；

（2）令，题目转变为F（x）≥0恒成立，求导，求得其单调性和最值，分类求得m的值.

解：(1)，

当a≤0时，，在R上单调递增，函数无极值；

当a>0时，由得，，

若，，单调递减，

若，f'（x）>0，单调递增，

的极小值为.

(2)令，依题意，对所有的x≥0，都有F（x）≥0，易知，F（0）=0，求导可得，

，令，

由得，H（x）在[0，+∞）上为递增函数，

即F'（x）在x∈[0，+∞）上为递增函数，

若m≤2，，得在x∈[0，+∞）上为递增函数，

有≥F（0）=0，符合题意，

若m>2，令<0，得.

所以在 ）上单调递减，有舍去，

综上，实数m的取值范围为.