Question

11．求函数y=2a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$在x∈（0，1]上的最大值（其中a∈R）．

Answer 1

分析 设t=$\sqrt{x}$，则t∈（0，1]，把问题化为求函数f（t）=2at-$\frac{1}{{t}^{2}}$在（0，1]上的最大值即可；
再对f（t）求导数，利用导数判断f（t）的单调性，从而求出f（t）的最大值．

解答 解：设t=$\sqrt{x}$，则t∈（0，1]，
函数f（x）=2a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$可化为f（t）=2at-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
其导数为f′（t）=2a+$\frac{2}{{t}^{3}}$，
（1）当a≥0时，f′（t）＞0显然成立，函数f（t）在（0，1]上单调递增，
∴f（t）_max=f（1）=2a-1；
（2）当a＜0时，令f′（t）=0，解得t=-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，
易知t∈（0，-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；
在t∈（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，+∞）时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；
①若-1≤a＜0，（此时-$\frac{1}{\root{3}{a}}$≥1），则f（t）_max=f（1）=2a-1；
②若a＜-1，则f（t）在（0，-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）内单调递增，在（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，1]内单调递减；
∴f（t）_max=f（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）=-3${a}^{\frac{2}{3}}$；
综上，当a≥-1时，f（t）_max=2a-1，
当a＜-1时，f（t）_max=-3${a}^{\frac{2}{3}}$；
即a≥-1时，y的最大值是2a-1，
a＜-1时，y的最大值是-3${a}^{\frac{2}{3}}$．

点评 本题考查了求函数的最值问题，关键是分析函数f（x）的单调性并利用单调性求出最值．