Question

5．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．     
（2）求证：U_n+1＞U_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），然后分别取n为1，2，3求得U_l，U₂，U₃的值．
（2）由（1）猜测f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*），然后利用数学归纳法证得结论，再由${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$证得U_n+1＞U_n．

解答 （1）解：令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），
当n=1时，${U}_{1}=f（2）=2=1×{2}^{1}$，
当n=2时，${U}_{2}=f（2×2）=f（{2}^{2}）=2f（2）+2f（2）=2×{2}^{2}$，
当n=3时，${U}_{3}=f（2×{2}^{2}）=2f（{2}^{2}）+{2}^{2}f（2）=3×{2}^{3}$，
∴U₁=2，U₂=8，U₃=24；
（2）由（1）猜测f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*）．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（2）=1×2，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即f（2^k）=k×2^k，
当n=k+1时，f（2^k+1）=f（2×2^k）=2f（2^k）+2^kf（2）=2×k×2^k+2^k×2=k×2^k+1+2^k+1=（k+1）×2^k+1．
∴n=k+1时，结论成立．
由①②可知，对n∈N^*，
f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴${U}_{n}=f（{2}^{n}）=n×{2}^{n}（n∈{N}^{*}）$．
要证明U_n+1＞U_n，只需证明${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$，
∵${U}_{n+1}-{U}_{n}=（n+1）•{2}^{n+1}-n•{2}^{n}={2}^{n}（n+2）＞0$，
∴U_n+1＞U_n．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，正确理解题意，合理设出a，b的值是解答该题的关键，属中高档题．