Question

已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．

(1) 求实数a、b间满足的等量关系； 

(2) 求线段PQ长的最小值；

(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

解析:

（1）连为切点，，由勾股定理有

.又由已知， 

故.

即：.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：.  

（2）由，得.

=.

故当时，即线段PQ长的最小值为      

解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.

∴    | PQ |_min = | PA |_min ，即求点A 到直线 l 的距离.

.                          

（3）设圆P 的半径为，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

即且.

而， 

故当时，此时, ，.

得半径取最小值时圆P的方程为．