Question

已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足

(1) 求实数a、b间满足的等量关系；

(2) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2) 。

【解析】

试题分析：（1）连为切点，，由勾股定理有

.

又由已知，故

即：.

化简得：.  

（2）设圆 的半径为，

 圆与圆O有公共点，且半径最小，

，

故当时，

此时, ，.

得半径取最小值时圆的方程为．

另解： 圆与圆O有公共点，圆半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去，圆心为过原点与垂直的直线 与的交点.

 = －1 = －1.

又 ：x－2y = 0,

解方程组，得.即 ( ,).

∴ 所求圆方程为.   

考点：圆的方程；两点间的距离公式；直线与圆的综合应用。

点评：此题主要考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，以及二次函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．