Question

【题目】已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有唯一零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递增；在上单调递减；（2）或

【解析】

（1）首先确定函数定义域，求导后分别在和上讨论导函数的符号，从而求得原函数的单调性；（2）将问题转化为与有且仅有一个交点的问题，通过数形结合的方式，可知当或与相切时满足题意；通过求解过某点的切线方程的求法可求得相切时的取值，从而得到结果.

（1）由题意可知，定义域为：

由得：，

①当时，，则 在上单调递增

②当时，令，解得：

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

（2）

令，得：

则有唯一零点等价于与有且仅有一个交点

由下图可知：

当或与相切时，有且仅有一个交点

当与相切时，设切点坐标为：

则，解得：

综上所述：或