Question

【题目】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时， 内切圆的半径为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为;(2)见解析.

【解析】分析：（1）依据题意，得到，又由，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆的方程的联立，求得，由，代入整理，求得的值，再由点到直线的距离公式，设，即可求得距离的最大值，得到结论.

详解：

(1)依题意： ,则，即

又,联立解得： ，故，所以椭圆的方程为

(2)设,

联立直线和椭圆的方程得： ,

当时有：

由得： ,即,

整理得： ,所以,

化简整理得： ，代入得： ,

解之得： 或,

点到直线的距离,

设，易得或，则,

当时；当时， ,

若，则；若，则，当时，

综上所述： ，故点到直线的距离没有最大值.