Question

已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求实数的最小值；

（Ⅲ）求证：（）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ） 

（Ⅲ）先证，累加即得.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① 

，∴②  

联立，解得∴                                

（Ⅱ），∴在上恒成立；

即在恒成立；         

设，，

∴只需证对于任意的有                 

设，

1）当，即时，，∴

在单调递增，∴                 

2）当，即时，设是方程的两根且

由，可知，分析题意可知当时对任意有；

∴，∴                              

综上分析，实数的最小值为.                             

（Ⅲ）令，有即在恒成立；

令，得        

∴原不等式得证.  

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；不等式的证明．

点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．特别是（Ⅲ）的证明，用到了放缩法和裂项相消，此题属难度较大的题目．