Question

（本小题13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．

（1）若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）的最小值为4（2）

【解析】

试题分析：⑴．

根据题意，解得，所以．                              ……2分

令，即．得．

因为，，

所以当时，，．                        ……4分

则对于区间上任意两个自变量的值，都有

，所以．

所以的最小值为4．                                                    ……6分

（2）因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．

因为，所以切线的斜率为．

则=，

即．

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

所以函数有三个不同的零点．

则．令，则或．

则 ，即，解得．                              ……12分

考点：本小题主要考查函数的性质，导数及其应用.

点评：导数是研究函数性质的有力工具，尤其是单调性、极值、最值等，不论研究函数的什么性质，不要忘记先看函数的定义域.