题目内容

判断函数y=x+ $数学公式$ 在在（0，2]、[2，+∝）上的单调性．

解：设0＜x₁＜x₂，
则 y₁-y₂=（x₁+ $\text{[math]}$ ）-（x₂+ $\text{[math]}$ ）
=（x₁-x₂）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（x₁-x₂）+[ $\text{[math]}$ ]
=（x₁-x₂）[1-（ $\text{[math]}$ ）]
（1）假如0＜x₁＜x₂＜2，则 0＜x₁x₂＜4， $\text{[math]}$ ＞1，1- $\text{[math]}$ ＜0，
x1-x2＜0，
所以，y₁-y₂＞0，y₁＞y₂，函数单调递减
（2）假如2＜x₁＜x₂，则 x₁x₂＞4， $\text{[math]}$ ＜1，1- $\text{[math]}$ ＞0，
又x₁-x₂＜0，
所以，y₁-y₂＜0，y₁＜y₂，函数单调递增
所以函数在（0，2）内单调递减；在[2，+∞）内单调递增．
分析：设0＜x₁＜x₂，化简 y₁-y₂ 的解析式到因式乘积的形式，假如0＜x₁＜x₂＜2，
判断y₁-y₂的符号，得出结论；假如2＜x₁＜x₂，判断y₁-y₂ 的符号，得出结论．
点评：本题考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，体现分类讨论的数学思想．

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