题目内容

判断函数y=x+
4x
在（0，2]、[2，+∞）上的单调性．
分析：设0＜x1＜x2，化简 y1-y2 的解析式到因式乘积的形式，假如0＜x1＜x2＜2，
 判断y1-y2的符号，得出结论；  假如2＜x1＜x2，判断y1-y2 的符号，得出结论．
解答：解：设0＜x1＜x2，
则 y1-y2
=（x1+
4
x1
）-（x2+
4
x2
）
=（x1-x2）+（
4
x1
-
4
x2
）
=（x1-x2）+[
4(x2-x1)
x1x2
]
=（x1-x2）[1-（
4
x1x2
）]
（1）假如0＜x1＜x2＜2，则 0＜x1x2＜4，
4
x1x2
＞1，1-
4
x1x2
＜0，
x1-x2＜0，
所以，y1-y2＞0，y1＞y2，函数单调递减
（2）假如2＜x1＜x2，则 x1x2＞4，
4
x1x2
＜1，1-
4
x1x2
＞0，
又x1-x2＜0，
所以，y1-y2＜0，y1＜y2，函数单调递增
所以函数在（0，2）内单调递减；在[2，+∞）内单调递增．
点评：本题考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，体现分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-
4
x
是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）
已知函数y=x+
4x
．
（1）判断此函数在（0，2）的单调性，并用定义证明；
（2）判断此函数的奇偶性；
（3）求在区间[-2，-1]上的最值．
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-
4
x
是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）
判断函数y=x+
4
x
在在（0，2]、[2，+∝）上的单调性．

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