Question

设f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

分析：根据条件求出数列{a_n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式即可得到结论．

解答：解：∵f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

=
∵f₁（0）=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an，
∴数列{a_n}是以

1

4

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1，
∴a₂₀₁₄=

1

4

•(-

1

2

)2013=(-

1

2

)2015．
故答案为：（-

1

2

）²⁰¹⁵

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件构造数列，并证明数列是等比数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．