Question

19．如图，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}|=2\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则（x，y）=（4，2）．

Answer 1

分析 如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D，由题意可得∠OCD=90°．在Rt△OCD中，利用边角关系求得|$\overrightarrow{CD}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=4，再由|$\overrightarrow{OD}$|=x|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{DC}$|=y|$\overrightarrow{OB}$|，求得x，y的值．

解答 解：如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D．
∵$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，
∴∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，|$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{OC}$|tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2．
|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{2}{sin30°}$=4，
由$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}$，
可得|$\overrightarrow{OD}$|=x|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{DC}$|=y|$\overrightarrow{OB}$|，即x=4，y=2．
故答案：（4，2）．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键，属于中档题．