Question

已知函数

   （1）若的极值点，求实数a的值；

   （2）若上为增函数，求实数a的取值范围；

   （3）当有实根，求实数b的最大值。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是极值的概念和根据单调区间，求解参数的取值范围，以及利用函数与方程的思想求解参数b的最值。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）……1分

因为为的极值点，所以

即，解得，又当时，，从而为的极值点成立。…………2分

（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立。…………3分

①当时，在区间上恒成立，在区间上为增函数，符合题意。…………4分

②当时，由函数的定义域可知，必有对成立，

故只能…………5分

故对恒成立

令，其对称轴为

从而要使对恒成立，只要即可…………6分

   解得：

，故

综上所述，实数的取值范围为…………7分

（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．………………………………8分

以下给出两种求函数值域的方法：

解法一：，令

则…………9分

所以当时，，从而在上为增函数

当时，，从而上为减函数

因此…………10分

而，故…………11分

因此当时，取得最大值………12分

解法二：因为，所以

设，则………9分

当时，，所以在上单调递增

当时，，所以在上单调递减

因为，故必有，又…10分

因此必存在实数使得

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增

当时，，所以在上单调递减………11分

又因为

当时，，则，又

因此当时，取得最大值