Question

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer 1

【答案】分析：（1）设构成递增的等比数列n+2个数分别为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2．利用倒序相乘的方法，结合等比数列的性质算出，再由等比数列定义证出{A_n}是首项为，公比为的等比数列，由此不难算出数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）由（1）的结论，算出，从而得到tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根据两角差的正切公式结合配角的方法，证出等式（n∈N^*），由此作为通项代入T_n的表达式，化简合并后即可得到（n∈N^*）．
解答：解：（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，
设为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比数列的性质，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴．
因此，可得（常数），
∴数列{A_n}是首项为，公比为的等比数列．
∴数列{A_n}的前n项和S_n==．
（2）由（1）得，
∵，
∴．
从而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=
∴



即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．
点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．