题目内容
【题目】已知函数
，若在定义域内存在
，使得
成立，则称为函数
的局部对称点.
（1）若
、
且
，证明：函数
必有局部对称点；
（2）若函数
在区间
内有局部对称点，求实数
的取值范围；
（3）若函数
在
上有局部对称点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】
（1）根据定义转化为方程，根据证明方程有解得结果；
（2）根据定义转化为方程，利用变量分离转化为求对应函数值域，即得结果；
（3）根据定义转化为方程，利用换元转化为对应一元二次方程有解问题，再根据实根分布求结果.
（1）由题意得
根据定义可得函数
必有局部对称点；
（2）因为函数
在区间
内有局部对称点，
所以
，即
在区间内有解，
设
，则
在
单调递增，在
上单调递减，所以
（3）因为函数
在
上有局部对称点，
所以
在上有解，
设
，则
，即
在
上有解，所以
或
，
或
，即得
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