Question

设数列{_n}满足₁＝，_n＋1＝_n²＋₁，．
(Ⅰ)当∈(－∞,－2)时，求证：M；
(Ⅱ)当∈(0,］时，求证：∈M；
(Ⅲ)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer 1

见解析

(I)如果，则，．(2)易采用数学归纳法证明.
（3）本小题难度偏大，一般学生解决不了，可以放弃，放弃也是一种勇气，也是一种能力.
本小题的思路是对于任意，，且．
对于任意，，
则．所以，．进行到此，问题基本得以解决
证明：（1）如果，则，． ……………2分
（2） 当 时，（）．
事实上，当时，． 设时成立（为某整数），
则对，．
由归纳假设，对任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．…………………6分
（3） 当时，．证明如下：
对于任意，，且．
对于任意，，
则．所以，．
当时，，即，因此