Question

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=  (n∈N*).
(Ⅰ)求a_2, a_3,  a_4;
(Ⅱ)猜想a_n，并用数学归纳法证明；
(Ⅲ)若数列b_n= ，求数列{b_n}的前n项和s_n。

Answer 1

（Ⅰ）∴a₂=  = ,a₃ =  = ,a₄ ==.(Ⅱ)略
（Ⅲ）s_n=b₁+b₂+…+b_n=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=

本试题主要是考查了运用递推关系求解数列的前几项，然后根据前几项的特点分析得到数列的通项公式，进而利用数列的归纳猜想思想，和数学归纳法的得到证明，并对于新数列求解和的问题。
（1）首先由a₁=1,a_n+1=,，对n赋值依次得到第二项和第三项以及第四项。
（2）归纳猜想其通项公式，并运用数学归纳法加以证明，
（3）由（Ⅱ）知：b_n===2[-]，然后裂项求和得到结论。