Question

9．如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB，AC于D，E．
（1）证明：∠ADE=∠AED；
（2）证明：AD•AE=BD•CE．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，从而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能证明∠ADE=∠AED．
（2）利用角平分线的性质得到比值相等，即可证明结论．

解答 证明：（1）连接OA，
∵AP²+OA²=16+9=25=（OB+BP）²，
∴OA⊥AP，
∴PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∵∠AEP=∠C+∠BPE，∠ADE=∠PAB+∠APE，
∵PE平分∠APC，
∴∠BPE=∠APE
∴∠ADE=∠AED；
（2）∵PE是∠APC的平分线，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{EC}{EA}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{4}{2}$，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{EC}{EA}$，
∴AD•AE=BD•CE．

点评 本题考查两角相等的证明，考查角平分线的性质的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、角平分线的性质、圆的性质等知识点的合理运用．