Question

（2007•河东区一模）设命题p：函数 f（x）=lg（10^x+1）+ax 是偶函数，命题q：g（x）=2^x+

2a

2x

是奇函数，则命题p是命题q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先求出命题p是偶函数的等价条件，命题q是奇函数的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义去判断．

解答：解：若 f（x）=lg（10^x+1）+ax 是偶函数，则f（-x）=f（x），
即lg（10^-x+1）-ax=lg（10^x+1）+ax 所以2ax=lg（10^-x+1）-lg（10^x+1）=lg

1+10x

10x

-lg（10^x+1）=lg（10^x+1）-lg10^x-lg（10^x+1）=-x，
所以2a=-1，a=-

1

2

．
若g（x）=2^x+

2a

2x

是奇函数，则g（0）=0，即1+2a=0，解得a=-

1

2

．
所以命题p是命题q的充要条件．
故选C．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数的奇偶性确定a的取值是解决本题的关键．