题目内容

设数列｛an｝前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，求证：｛an｝是等差数列.

思路解析：利用Sn分别求出an+1和an，作差an+1-an，证明该差是常数或与an-an-1相等.

证明：Sn=，∴Sn-1=，

∴an=Sn-Sn-1=n（a1+an）-（n-1）（a1+an-1）（n≥2），

同理，an+1=（n+1）（a1+an+1）-n（a1+an），

于是，an+1-an=（n+1）（a1+an+1）-n（a1+an）+（n-1）（a1+an-1）

所以an+1-an=an-an-1（n≥2）.

∴数列｛an｝是等差数列.

练习册系列答案
相关题目
设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=1，a4是a3和a7的等比中项，
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列{an}的前n项和Sn．
已知{an}是等比数列，公比q＞1，前n项和为Sn，且
S3
a2
=
7
2
，a4=4，数列{bn}满足：bn=
1
n+log2an+1
．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{bnbn+1}的前n项和为Tn，求证
1
3
≤Tn＜
1
2
(n∈N*)．
已知数列{an}中，a1=3，前n和Sn=
1
2
（n+1）（an+1）-1．
①求证：数列{an}是等差数列
②求数列{an}的通项公式
③设数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．
在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，a22=a1•a4，设数列{22-an}的前n项和为Sn．
（1）解不等式：
Sn-am
Sn+1-am
＜
1
2
，求正整数m，n的值；
（2）若数列{bn}满足b1=4，bn+1=bn2-an•bn+1，求证：
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
＜
2
5
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网