Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n和S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1．
①求证：数列{a_n}是等差数列
②求数列{a_n}的通项公式
③设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，是否存在实数M，使得T_n≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：①由S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，得Sn+1=

1

2

(n+2)(an+1+1)-1，两式相减后整理可得na_n+1=（n+1）a_n-1（1），则（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1（2），两式相减整理后利用等差中项公式可判断；
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，可求得a₂=2a₁-1=5，又a₁=3可求公差，从而可得a_n；
③使得T_n≤M对一切正整数n恒成立，等价于T_n的最大值小于等于M，利用裂项相消法可求得T_n，进而可求得其最大值；

解答：解：①∵S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，
∴Sn+1=

1

2

(n+2)(an+1+1)-1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

2

[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)]，
整理得，na_n+1=（n+1）a_n-1…（1）
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1…（2）
（2）-（1），得（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴2（n+1）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），
∴2a_n+1=a_n+2+a_n，
∴数列{a_n}为等差数列．
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，得a₂=2a₁-1=5，
又a₁=3，∴a₂-a₁=2，即公差为2，
a_n=3+（n-1）×2=2n+1；
③∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)，
又当n∈N^*时，Tn＜

1

6

，
要使得T_n≤M对一切正整数n恒成立，只要M≥

1

6

，
∴存在实数M使得T_n≤M对一切正整数n都成立，M的最小值为

1

6

．

点评：本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和，恒成立问题常转化为函数最值解决，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．