Question

（2007•淄博三模）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由直棱柱的结构特征结合已知及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC₁A₁，再由BC∥B₁C₁，可得B₁C₁⊥A₁C，解Rt△ABC可得四边形ACC₁A₁为正方形，再由线面垂直的判定定理得到A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求出三角形A₁OA的面积及棱锥的高B₁C₁，利用等积法，代入棱锥体积公式，可得三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）取BB₁的中点F，连EF，FD，DE，由三角形中位线定理及线面平行的判定定理，可证得：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁．

解答：证明：（ I）∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BC⊥CC₁
∵AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，则B₁C₁⊥A₁C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=

3

∵AA1=

3

，
∴四边形ACC₁A₁为正方形
∴A₁C⊥AC₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，B₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁
∴A₁C⊥平面AB₁C₁…（4分）
解（ II）∵S△AOA1=

1

4

×(

3

)2=

3

4

又B₁C₁为三棱锥B₁-A₁AO的高且B₁C₁=1
∴VA-A1B1O=VB1-A1AO=

1

3

×

3

4

×1=

1

4

…(8分)
证明：（ III）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁
证明如下：
如图取BB₁的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC₁，AB，BB₁的中点；
∴EF∥AB₁
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁
∴EF∥平面AB₁C₁
同理可证FD∥平面AB₁C₁
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB₁C₁
∵DE?平面EFD
∴DE∥AB₁C₁…．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及线面平行的判定定理是解答的关键．