Question

1．对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（Ⅰ）若h（x）=2x²+3x+1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b生成，$b∈[\frac{1}{2}，\;1]$，求a+2b的取值范围；
（Ⅱ）试利用“基函数$f（x）={log_4}（{4^x}+1），g（x）=x-1$”生成一个函数h（x），使之满足下列条件：
①是偶函数；
②有最小值1．
求h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），展开后整理，由系数相等把a，b用n表示，然后结合n的范围求得a+2b的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），h（x）是偶函数，则h（-x）-h（x）=0，可得m与n的关系，h（x）有最小值则必有n＜0，且有-2n=1，求出m和n值，可得解析式

解答 解：（Ⅰ）h（x）=2x²+3x+1=mf（x）+ng（x）=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（ma+n）x+nb$⇒\left\{{\begin{array}{l}{m=2\;\;}\\{ma+n=3}\\{nb=1\;}\end{array}}\right.⇒2a+\frac{1}{b}=3$，
所以$a+2b=\frac{3}{2}-\frac{1}{2b}+2b$，易知上式递增，
所以$a+2b∈[\frac{3}{2}，\;3]$．
（Ⅱ）设h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），
因为h（x）是偶函数，
所以h（-x）-h（x）=0，
即m（log₄（4^-x+1））+n（-x-1）-m（log₄（4^x+1））-n（x-1）=0，
所以（m+2n）x=0，可得：m=-2n．
所以h（x）=-2nlog₄（4^x+1）+n（x-1）=n（-2nlog₄（4^x+1）+x-1）=n（log₄$\frac{{4}^{x}}{（{4}^{x}+1）^{2}}$-1）=n（log₄$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$-1），
因为$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$≤$\frac{1}{4}$，
所以log₄$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$-1≤-2，
由题意h（x）≥1，
解得n=-$\frac{1}{2}$，从而m=1，
∴h（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$（x-1）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，关键是对题意的理解与合理转化，是压轴题．